Question

如图所示，已知圆E：x²+（y-1）²=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．
（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦MN的长；
（2）若弦MN的中点恰好落在x轴上，求弦MN所在直线的方程；
（3）设弦MN上一点P（不含端点）满足PA，PO，PB成等比数列（其中O为坐标原点），试探求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据K_MN=2，且过点M（0，-1），，代入即可得：弦MN所在直线的方程为y+1=2x
（2）弦MN的中点恰好落在x轴上时有y_M+y_N=0，可得y_N=1，代入圆E的方程中得N（±2，1），进而可求直线MN的方程为x-y-1=0或x+y+1=0．
（3）设P（x，y），由PA•PB=PO²，得

(x+ 3 )2+y2

•

(x- 3 )2+y2

=x2+y2，化简得x2=y2+

3

2

．
又由于点P在圆E内，所以x²+（y-1）²＜4，
联立可得答案．

解答：解：（1）在圆E的方程中令x=0，得M（0，-1），又K_MN=2，
所以弦MN所在直线的方程为y+1=2x，即2x-y-1=0．
∵圆心到直线MN的距离为d=

2

5

，且r=2，∴MN=2

r2-d2

=

8 5

5

．
（2）因为y_M+y_N=0，所以y_N=1，代入圆E的方程中得N（±2，1）．
由M（0，-1），N（±2，1）得直线MN的方程为x-y-1=0或x+y+1=0．
（3）易得A(-

3

，0)，B(

3

，0)，设P（x，y），
则由PA•PB=PO²，得

(x+ 3 )2+y2

•

(x- 3 )2+y2

=x2+y2，
化简得x2=y2+

3

2

①
由题意知点P在圆E内，所以x²+（y-1）²＜4，结合①，
得4y²-4y-3＜0，解得-

1

2

＜y＜

3

2

．从而

PA

•

PB

=x2+y2-3=2y2-

3

2

∈[-

3

2

，3)．

点评：本题主要考查向量的数量积运算和圆的方程的有关问题．属小综合题．