Question

如图所示，已知圆E：x²+（y﹣1）²=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．
（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦MN的长；
（2）若弦MN的中点恰好落在x轴上，求弦MN所在直线的方程；
（3）设弦MN上一点P（不含端点）满足PA，PO，PB成等比数列（其中O为坐标原点），试探求的取值范围．

Answer 1

解：（1）在圆E的方程中令x=0，得M（0，﹣1），
又K_MN=2，
所以弦MN所在直线的方程为y+1=2x，即2x﹣y﹣1=0．
∵圆心到直线MN的距离为，且r=2，
∴．
（2）因为y_M+y_N=0，所以y_N=1，代入圆E的方程中得N（±2，1）．
由M（0，﹣1），N（±2，1）得
直线MN的方程为x﹣y﹣1=0或x+y+1=0．
（3）易得，
设P（x，y），则由PAPB=PO²，得
，
化简得①
由题意知点P在圆E内，所以x²+（y﹣1）²＜4，
结合①，4y²﹣4y﹣3＜0，
解得．
从而=．