Question

当α∈时，求证：sin α<α<tan α.

Answer 1

证明　如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.

因为S_△AOP＝OA·MP＝sin α，

S_扇形AOP＝αOA²＝α，

S_△AOT＝OA·AT＝tan α，又S_△AOP<S_扇形AOP<S_△AOT，

所以sin α<α<tan α，即sin α<α<tan α.