Question

【题目】数列{an}的前n项和记为Sn ， a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn ， 且T3=15，又a1+b1 ， a2+b2 ， a3+b3成等比数列，求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为an+1=2Sn+1，…①

所以an=2Sn﹣1+1（n≥2），…②

所以①②两式相减得an+1﹣an=2an，即an+1=3an（n≥2）

又因为a2=2S1+1=3，

所以a2=3a1，

故{an}是首项为1，公比为3的等比数列

∴an=3n﹣1．

（2）解：设{bn}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，

故可设b1=5﹣d，b3=5+d，

又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，

所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，

解得d1=2，d2=﹣10

∵等差数列{bn}的各项为正，

∴d＞0，

∴d=2，

∴ ．

【解析】（1）由题意可得：an=2Sn﹣1+1（n≥2），所以an+1﹣an=2an ， 即an+1=3an（n≥2），又因为a2=3a1 ， 故{an}是等比数列，进而得到答案．（2）根据题意可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，所以结合题意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2 ， 进而求出公差得到等差数列的前n项和为Tn ．
【考点精析】利用等差数列的前n项和公式和等比数列的通项公式（及其变式）对题目进行判断即可得到答案，需要熟知前n项和公式：；通项公式：．