题目内容
已知函数f(x)和g(x)的图象关于点(1,1)对称,且f(x)=2x.(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)若h(x)=f(x)-λg(x)+2λ(λ>0)在[1,+∞)上是增函数,求实数λ的取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x,y)关于点(1,1)的对称点为P(x,y),则
由点Q(x,y)在函数y=f(x)的图象上可得,
,从而可求y=f(x)
(Ⅱ) 由(I)可得h(x)=
在[1,+∞)上是增函数,即可得当1≤x1<x2时,h(x2)-h(x1)>0,
,从而可求
解答:解:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x,y)关于点(1,1)的对称点为P(x,y),则
(4分)
∵点Q(x,y)在函数y=f(x)的图象上,
∴2-y=22-x,即y=2-22-x,故g(x)=2-22-x.(6分)
(Ⅱ)
=
(7分)
设1≤x1<x2,

=
=
=
(10分)
h(x)=f(x)-λg(x)+2λ(λ>0)在[1,+∞)上是增函数h(x2)-h(x1)>0,

(12分)
,∵x2>x1≥1,⇒x2+x1>2,
,∴4≥4λ∴0<λ≤1为所求 (14分)
点评:本题主要考查了关于点对称的函数的解析式的求解,主要利用的是中点坐标公式,函数的单调性的定义的应用及单调性中的恒成立的问题.


(Ⅱ) 由(I)可得h(x)=


解答:解:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x,y)关于点(1,1)的对称点为P(x,y),则

∵点Q(x,y)在函数y=f(x)的图象上,

∴2-y=22-x,即y=2-22-x,故g(x)=2-22-x.(6分)
(Ⅱ)


设1≤x1<x2,


=


=

h(x)=f(x)-λg(x)+2λ(λ>0)在[1,+∞)上是增函数h(x2)-h(x1)>0,




点评:本题主要考查了关于点对称的函数的解析式的求解,主要利用的是中点坐标公式,函数的单调性的定义的应用及单调性中的恒成立的问题.

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