题目内容
已知函数f(x)和g(x)的图象关于点(1,1)对称,且f(x)=2
x.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)若h(x)=f(x)-λg(x)+2λ(λ>0)在[1,+∞)上是增函数,求实数λ的取值范围.
【答案】
分析:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x
,y
)关于点(1,1)的对称点为P(x,y),则

由点Q(x
,y
)在函数y=f(x)的图象上可得,

,从而可求y=f(x)
(Ⅱ) 由(I)可得h(x)=

在[1,+∞)上是增函数,即可得当1≤x
1<x
2时,h(x
2)-h(x
1)>0,

,从而可求
解答:解:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x
,y
)关于点(1,1)的对称点为P(x,y),则

(4分)
∵点Q(x
,y
)在函数y=f(x)的图象上,

∴2-y=2
2-x,即y=2-2
2-x,故g(x)=2-2
2-x.(6分)
(Ⅱ)

=

(7分)
设1≤x
1<x
2,


=

=

=

(10分)
h(x)=f(x)-λg(x)+2λ(λ>0)在[1,+∞)上是增函数h(x
2)-h(x
1)>0,


(12分)

,∵x
2>x
1≥1,⇒x
2+x
1>2,

,∴4≥4λ∴0<λ≤1为所求 (14分)
点评:本题主要考查了关于点对称的函数的解析式的求解,主要利用的是中点坐标公式,函数的单调性的定义的应用及单调性中的恒成立的问题.
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