Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于点（1，1）对称，且f（x）=2^x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x，y）关于点（1，1）的对称点为P（x，y），则由点Q（x，y）在函数y=f（x）的图象上可得，，从而可求y=f（x）
（Ⅱ） 由（I）可得h（x）=在[1，+∞）上是增函数，即可得当1≤x₁＜x₂时，h（x₂）-h（x₁）＞0，，从而可求
解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x，y）关于点（1，1）的对称点为P（x，y），则（4分）
∵点Q（x，y）在函数y=f（x）的图象上，
∴2-y=2^2-x，即y=2-2^2-x，故g（x）=2-2^2-x．（6分）
（Ⅱ） =（7分）
设1≤x₁＜x₂，
==
=（10分）
h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函数h（x₂）-h（x₁）＞0，
（12分）
，∵x₂＞x₁≥1，⇒x₂+x₁＞2，
，∴4≥4λ∴0＜λ≤1为所求                                            （14分）
点评：本题主要考查了关于点对称的函数的解析式的求解，主要利用的是中点坐标公式，函数的单调性的定义的应用及单调性中的恒成立的问题．