Question

已知平面内一点P与两个定点F1(-

3

 ， 0)和F2(

3

 ， 0)的距离的差的绝对值为2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由双曲线的定义知该轨迹为双曲线，从而由所给条件可求得其标准方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，与双曲线方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，根据韦达定理可用k表示出x₁+x₂，x₁x₂，进而表示出y₁y₂，由OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，从而转化为关于k的方程，解出即可，注意检验所求k值是否符合题意要求；

解答：解：（Ⅰ）根据双曲线的定义，可知动点P的轨迹为双曲线，
其中a=1，c=

3

，则b=

c2-a2

=

2

．
所以动点P的轨迹方程C：x2-

y2

2

=1．                    
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组

x2- y2 2 =1  y=kx-2

得（2-k²）x²+4kx-6=0．      
因为直线l与曲线C交于A，B两点，
所以

2-k2≠0  △=(4k)2-4×(2-k2)×(-6)＞0

，
即-

6

＜k＜

6

且k≠±

2

．   （*）
由根与系数关系得 x1+x2=

-4k

2-k2

，x1•x2=

-6

2-k2

，
因为y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
所以y1y2=k2x1•x2-2k(x1+x2)+4．                   
因为OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以 （1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
所以(1+k2)•

-6

2-k2

-2k•

-4k

2-k2

+4=0，
即k²=1，解得k=±1，由（*）式知k=±1符合题意．
所以直线l的方程是y=x-2或y=-x-2．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线的标准方程的求解，考查学生对问题的转化能力，考查学生利用知识分析问题解决问题的能力，属中档题．