Question

已知平面内一点P与两个定点和的距离的差的绝对值为2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由双曲线的定义知该轨迹为双曲线，从而由所给条件可求得其标准方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，与双曲线方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，根据韦达定理可用k表示出x₁+x₂，x₁x₂，进而表示出y₁y₂，由OA⊥OB，可得，即x₁x₂+y₁y₂=0，从而转化为关于k的方程，解出即可，注意检验所求k值是否符合题意要求；
解答：解：（Ⅰ）根据双曲线的定义，可知动点P的轨迹为双曲线，
其中a=1，，则．
所以动点P的轨迹方程C：．                    
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组得（2-k²）x²+4kx-6=0．      
因为直线l与曲线C交于A，B两点，
所以，
即且．   （*）
由根与系数关系得 ，，
因为y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
所以．                   
因为OA⊥OB，所以，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以 （1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
所以，
即k²=1，解得k=±1，由（*）式知k=±1符合题意．
所以直线l的方程是y=x-2或y=-x-2．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线的标准方程的求解，考查学生对问题的转化能力，考查学生利用知识分析问题解决问题的能力，属中档题．