题目内容
如图,椭圆的两顶点为
,B(0,1),该椭圆的左右焦点分别是F1,F2.
(1)在线段AB上是否存在点C,使得CF1⊥CF2?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)设过F1的直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF2面积的最大值.


且有:

F2(1,0),

(1)假设存在点C,使得CF1⊥CF2,
则:

令

而


故有:


所以点C的坐标为C(0,1)或

(2)若设过F1的直线l交椭圆于P(x1,y1),Q(x2,y2),则由焦半径公式可得:

当PQ⊥x轴时,x1=x2=-1,此时

当PQ与x轴不垂直时,不妨设直线PQ的方程为y=k(x+1),(k>0),
则由:


于是可得:

又由点到直线的距离公式可得点F2到PQ的距离

故

因为

所以

综上可知,当直线PQ⊥x轴时,△PQF2的面积取到最大值

分析:(1)根据椭圆的方程求得a和b,c,进而求得焦点的坐标,表示出



(2)设出P,Q的坐标,通过焦半径公式求得|PQ|的表达式,先看PQ⊥x轴时,则可求得x1=x2=-1进而求得△PQF2面积;再看PQ与x轴不垂直时,设出PQ的方程,由点到直线的距离公式可得点F2到PQ的距离表示出△PQF2面积的表达式,利用基本不等式求得△PQF2面积的范围,最后综合推断出△PQF2面积的最大值.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了运用解析几何的基础知识解决实际问题的能力.

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