Question

已知无穷等比数列{a_n}的前n项的积为T_n，且a₁＞1，a₂₀₀₈a₂₀₀₉＞1，（a₂₀₀₈-1）（a₂₀₀₉-1）＜0，则这个数列中使T_n＞1成立的最大正整数n的值等于（ ）
A．2008
B．2009
C．4016
D．4017

Answer 1

【答案】分析：如果是递增数列T（n）应该无限大，该数列有最小值说明是递减数列，得出a₂₀₀₈＞1，a₂₀₀₉＜1，进而利用等比中项得出a₁a₄₀₁₅＞1，a₁a₄₀₁₇＜1，然后根据a₂₀₀₈a₂₀₀₉=a₁a₄₀₁₆＞1，即可得出结果．
解答：解：已知条件可知，a₂₀₀₈＞1，a₂₀₀₉＜1
∴a₁a₄₀₁₅＞1，a₁a₄₀₁₇＜1′，
∴T₄₀₁₅＞1，T₄₀₁₇＜1′，
∵a₂₀₀₈a₂₀₀₉=a₁a₄₀₁₆＞1，
∴T₄₀₁₆＞1′，
这个数列中使T_n＞1成立的最大正整数n的值为4016．
故选C．
点评：本题考查了题主要考查了等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．由已知条件得出a₂₀₀₈＞1，a₂₀₀₉＜1是解题的关键，属于中档题．