题目内容
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
，离心率为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
作直线
交于
、
两点，试问：在轴上是否存在一个定点
，使
为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）
（2）符合条件的点
存在，其坐标为
解析:
（1）设椭圆
的方程为
，由已知得
，
，
，
椭圆的方程为 ．
（2）法一：假设存在符合条件的点
，又设
，则：
①当直线
的斜率存在时，设直线的方程为：
，则由
，
得
，即
，
，
，
所以
，
对于任意的
值，
为定值，所以
，得
，
所以
；
②当直线的斜率不存在时，直线
，由得
．
综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为．
法二：假设存在符合条件的点，又设
则：
，
=
．
①当直线的斜率不为
时，设直线的方程为
，由
，得
，
，
．
设
则
，
，
．
②当直线的斜率为时，直线
，由
得：
．
综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为．
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