题目内容
（2012•蓝山县模拟）设函数f(x)=
ax3+bx+cx(a≠0)，已知a＜b＜c，且0≤
＜1，曲线y=f（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）如果函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s-t|的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥k（k是与a，b，c无关的常数）时，恒有f（x）+a＜0，求实数k的最小值．
| 1 |
| 3 |
| b |
| a |
（Ⅰ）如果函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s-t|的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥k（k是与a，b，c无关的常数）时，恒有f（x）+a＜0，求实数k的最小值．
分析：（Ⅰ）由题设先求出f′（x）=ax2+2bx+c，再由f′（1）=a+2b+c=0，a＜b＜c，推导出判别式△=4b2-4ac≥0，由此利用题设条件，结合根与系数的关系，能够得到|s-t|的取值范围．
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，a＜0，得(2x-2) •
+x2＞0．设g(
)=(2x-2) •
+x2，由题意，函数y=g(
)对于0≤
＜1恒成立．由此能求出k的最小值．
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，a＜0，得(2x-2) •
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax2+2bx+c，
∴f′（1）=a+2b+c=0又a＜b＜c，
得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，
故a＜0，c＞0．
则判别式△=4b2-4ac≥0，
∴方程f′（x）=ax2+2bx+c=0（*）有两个不等实根，
设为x1，x2，又由f′（1）=a+2b+c=0知，x1=1为方程（*）的一个实根，
又由根与系数的关系得x1+x2=-
，x2=-
-1＜0＜x1．（3分）
当x＜x2或x＞x1时，f′（x）＜0，当x2＜x＜x1时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的递增函数区间为[x2，x1]，
由题设知[x2，x1]=[s，t]，
因此|s-t| = |x1-x2| = 2+
，（6分）
由（1）知0≤
＜1，得|s-t|的取值范围为[2，4）． （8分）
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，即ax2+2bx+a+c＜0，即ax2+2bx-2b＜0．
因a＜0，得x2+
x-
＞0，整理得(2x-2) •
+x2＞0． （9分）
设g(
)=(2x-2) •
+x2，它可以看作是关于
的一次函数．
由题意，函数y=g(
)对于0≤
＜1恒成立．
故
，即
，得x≤-
-1或x≥
-1．（11分）
由题意[k，+∞)⊆(-∞，-
-1)∪[
-1，+∞)，故k≥
-1．
因此k的最小值为
-1．（13分）．
∴f′（1）=a+2b+c=0又a＜b＜c，
得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，
故a＜0，c＞0．
则判别式△=4b2-4ac≥0，
∴方程f′（x）=ax2+2bx+c=0（*）有两个不等实根，
设为x1，x2，又由f′（1）=a+2b+c=0知，x1=1为方程（*）的一个实根，
又由根与系数的关系得x1+x2=-
| 2b |
| a |
| 2b |
| a |
当x＜x2或x＞x1时，f′（x）＜0，当x2＜x＜x1时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的递增函数区间为[x2，x1]，
由题设知[x2，x1]=[s，t]，
因此|s-t| = |x1-x2| = 2+
| 2b |
| a |
由（1）知0≤
| b |
| a |
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，即ax2+2bx+a+c＜0，即ax2+2bx-2b＜0．
因a＜0，得x2+
| 2b |
| a |
| 2b |
| a |
| b |
| a |
设g(
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
由题意，函数y=g(
| b |
| a |
| b |
| a |
故
|
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| 3 |
| 3 |
由题意[k，+∞)⊆(-∞，-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
因此k的最小值为
| 3 |
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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