Question

在面积为1的△PMN中,tan∠M=,tan∠N=-2，建立适当坐标系,求出以MN为焦点且过P点的椭圆方程.

Answer 1

椭圆方程为=1.

解析:

如图,以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.

设所求椭圆方程为=1(a>b>0),设M、N、P的坐标分别为(-c,0)、(c,0)、(x₀,y₀).

由题设可知解得即P(c,c).

△MNP中,|MN|=2c,MN上的高为c.

∴S_△MNP=×2c×c=1.∴c=,即P().

|MP|=,|NP|=,

∴a=(|MP|+|NP|)=.∴b²=a²-c²=3.

故所求椭圆方程为=1.