题目内容

【题目】已知的三个顶点,其外接圆为.

(1)求的面积;

(2)若直线过点,且被截得的弦长为2,求直线的方程;

(3)对于线段上的任意一点,若在以为圆心的圆上都存在不同的两点,使得点的线段的中点,求的半径的取值范围.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

试题分析:(1)借助题设条件直接求解;(2)借助题设待定直线的斜率,再运用直线的点斜式方程求解;(3)借助题设建立关于的不等式,运用分析推证的方法进行求解.

试题解析:

(1)的面积为2;

(2)线段的垂直平分线方程为,线段的垂直平分线方程为

所以外接圆圆心,半径,圆的方程为

设圆心到直线的距离为,因为直线被圆截得的弦长为2,所以.

当直线垂直于轴时,显然符合题意,即为所求;

当直线不垂直于轴时,设直线方程为,则,解得

综上,直线的方程为.

(3)直线的方程为,设

因为点是线段的中点,所以,又都在半径为的圆上,

所以

因为该关于的方程组有解,即以为圆心,为半径的圆与以为圆心,为半径的圆有公共点,所以

,所以成立.

上的值域为,所以.

又线段与圆无公共点,所以成立,即.

故圆的半径的取值范围为.

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