Question

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=2，CD=

3

，AB=

3

，E、F分别为AC、AD上的动点．
（1）若

AE

EC

=

AF

FD

，求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）若

AE

EC

=1，

AF

FD

=2，求平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，由

AE

EC

=

AF

FD

，根据平行线分线段成比例定理，可得EF∥CD，由线面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，可得平面BEF⊥平面ABC；
（2）方法一（向量法）建立空间直角坐标系C-xyz，根据BC=2，CD=

3

，AB=

3

，E、F分别为AC、AD上的动点，

AE

EC

=1，

AF

FD

=2，分别求出平面BEF与平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小．
方法二（几何法）延长EF，交CD的延长线于G，连接BG，过E作EH⊥BC于H，可得EH⊥平面BCD，过H作HK⊥BG于K，连接EK，则∠EKH即为所求二面角的平面角，解Rt△BCD即可求出平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小．

解答：证明：（1）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
∵

AE

EC

=

AF

FD

，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
解：（2）解法一（向量法）：
如图建立空间直角坐标系C-xyz
则B(2，0，0)，D(0，

3

，0)，A(2，0，

3

)，
∵

AE

EC

=1，
∴E(1，0，

3

2

)，
∵

AF

FD

=2，
∴F(

2

3

，

2

3

3

，

3

3

)
∴

BE

=(-1，0，

3

2

)，

BF

=(-

4

3

，

2 3

3

，

3

3

)，
设

n

=(x，y，z)，

n

⊥平面BEF，
则

-x+ 3 2 z=0 - 4 3 x+ 2 3 3 y+ 3 3 z=0

，
设

n1

⊥平面BCD，则

n1

可取（0，0，1），
∴cos＜

n

，

n1

＞=

2

2

，
所以，平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45°．
方法二（几何法）：
延长EF，交CD的延长线于G，连接BG，
过E作EH⊥BC于H，则EH⊥平面BCD，
过H作HK⊥BG于K，连接EK，则EK⊥BG，
∴∠EKH即为所求二面角的平面角．
∵

AE

EC

=1，
∴AE=

1

2

AB=

3

2

，
在Rt△BCD中，可以解得HK=

3

2

，
∴在Rt△BCD中，∠EKH=45°，即平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45°．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是将条件

AE

EC

=

AF

FD

，根据平行线分线段成比例定理，转化为EF∥CD，（2）中方法一的关键是将二面角问题转化为向量夹角问题，方法二的关键是确定∠EKH即为所求二面角的平面角．