Question

已知等差数列{a_n}中，a₁＜0且a₁+a₂+…+a₁₀₀=0，设b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），当{b_n}的前n项和S_n取最小值时，n的值为

1. A.
   48
2. B.
   50
3. C.
   48或50
4. D.
   48或49

Answer 1

C
分析：由数列为等差数列，利用等差数列的性质化简a₁+a₂+…+a₁₀₀=0，得到a₁+a₁₀₀=0，a₅₀+a₅₁=0，由a₁小于0，得到a₁₀₀大于0，可得此数列为递增数列，进而得到a₅₀小于0，a₅₁大于0，即此数列的前50项均为负值，从51项开始变为负值，根据b_n=a_na_n+1a_n+2，表示出{b_n}的前n项和S_n，利用两数相乘取符号的法则，即可得到{b_n}的前n项和S_n取最小值时n的值．
解答：∵等差数列{a_n}，
∴a₁+a₁₀₀=a₂+a₉₉=…=a₅₀+a₅₁，
又a₁+a₂+…+a₁₀₀=0，
∴50（a₁+a₁₀₀）=50（a₅₀+a₅₁）=0，即a₁+a₁₀₀=0，a₅₀+a₅₁=0，
又a₁＜0，∴a₁₀₀＞0，即等差数列为递增数列，
∴a₅₀＜0，a₅₁＞0，
∵b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），
∴{b_n}的前n项和S_n=a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a_na_n+1a_n+2，
则当{b_n}的前n项和S_n取最小值时，n的值为48或50．
故选C
点评：此题考查了等差数列的性质，是一道中档题．其中根据等差数列的性质得到a₁+a₁₀₀=0，a₅₀+a₅₁=0是解本题的关键．