Question

15．设a＞b＞0，a+b=1，且x=log_ab，y=log${\;}_{\frac{1}{b}}$a，z=log${\;}_{（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）}$3．则x，y，z之间的大小关系是（　　）

• A． y＜x＜z
• B． z＜y＜x
• C． x＜y＜z
• D． y＜z＜x

Answer 1

分析 由a＞b＞0，a+b=1，可得$1＞a＞\frac{1}{2}＞b＞0$，利用对数函数的单调性可得x＞1，y=-log_ba＜0．利用基本不等式的性质可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$＞4，可得0＜z＜1．即可得出．

解答 解：∵a＞b＞0，a+b=1，
∴$1＞a＞\frac{1}{2}＞b＞0$，∴x=log_ab＞log_aa=1，y=log${\;}_{\frac{1}{b}}$a=-log_ba＜0．
∵$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$＞2+2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}}$=4，∴0＜z=log${\;}_{（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）}$3＜1．
∴y＜z＜x．
故选：D．

点评 本题考查了对数函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．