Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=-2+ 10 cosθ y= 10 csinθ

（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线C₁，C₂是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线C₁的普通方程，曲线C₂的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程；
（2）先求出两个圆心之间的距离与两半径和进行比较，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C₁C₂，建立等量关系，解之即可．

解答：解：（1）由

x=-2+ 10 cosθ y= 10 sinθ

得（x+2）²+y²=10
∴曲线C₁的普通方程为得（x+2）²+y²=10
∵ρ=2cosθ+6sinθ
∴ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ
∴x²+y²=2x+6y，即（x-1）²+（y-3）²=10
∴曲线C₂的直角坐标方程为（x-1）²+（y-3）²=10
（2）∵圆C₁的圆心为（-2，0），圆C₂的圆心为（1，3）
∴|C1C2| =

(-2-1)2+(0-3)2

 =3

2

＜2

10

∴两圆相交
设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C₁C₂
∴(

d

2

)2+(

3 2

2

)2=10
∴d=

22

∴公共弦长为

22

点评：本题主要考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，属于基础题．