题目内容

下列命题：
①函数f（x）=sin2x-cos2x的最小正周期是π；
②函数f（x）=（1-x）
1+x
1-x
是偶函数；
③若
∫
a
1
1
x
dx=1（a＞1），则a=e；  
④椭圆2x2+3y2=m（m＞0）的离心率不确定．
其中所有的真命题是（　　）
分析：①利用三角函数的性质判断．②利用函数奇偶性的定义判断．③利用微积分定理判断．④利用椭圆的离心率公式判断．
解答：解：①由f（x）=sin2x-cos2x得f（x）=sin2x-cos2x=-cos2x，周期T=
2π
2
=π，所以①正确．
②要使函数有意义，则
1+x
1-x
≥0，解得-1≤x＜1，定义域关于原点不对称，所以函数f（x）为非奇非偶函数，所以②错误．
③由
∫
a
1
1
x
dx=1得lnx|
 
a
1
=lna-ln1=lna=1，解得a=e，所以③正确．
④椭圆的标准方程为
x2
m
2
+
y2
m
3
=1，则a2=
m
2
，b2=
m
3
，所以c2=a2-b2=
m
2
-
m
3
=
m
6
，所以
c2
a2
=
m
6
m
2
=
2
6
=
1
3
，即e=
3
3
，离心率为定值，所以④错误．
故真命题为①③．
故选D．
点评：本题主要考查各种命题的真假判断，综合性较强涉及的知识点较多．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）的定义域为D，若存在非零数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：
①函数f（x）=(
12
)x为R上的1高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数
③如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）其中正确的命题是
 
．（写出所有正确命题的序号）
函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；
②指数函数f（x）=2x（x∈R）是单函数；
③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
⑤f（x）=|2x-1|是单函数．
其中的真命题是（　　）
已知函数f（x）=
sinπx(x2+1) (x2-2x+2)
．对于下列命题：
①函数f（x）是周期函数；  ②函数f（x）既有最大值又有最小值； 
③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；
④对于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）．
其中真命题的序号是
②③
②③
．（填写出所有真命题的序号）
（2008•湖北模拟）关于函数f(x)=
e-x-2，x≤0
2ax-1，x＞0
（a为常数，且a＞0）对于下列命题：
①函数f（x）的最小值为-1；
②函数f（x）在每一点处都连续；
③函数f（x）在R上存在反函数；
④函数f（x）在x=0处可导；
⑤对任意的实数x1＜0，x2＜0且x1＜x2，恒有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2

其中正确命题的序号是
①②⑤
①②⑤
．

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