Question

给出下列命题：
①存在实数x，使得sinx+cosx=

5

成立；
②函数y=sin(

5π

2

-2x)是偶函数；
③方程x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的图象的一条对称轴；
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
⑤函数f（x）=sin2x的最小正周期是π．
其中，正确命题的序号是

 

（把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：①由sinx+cosx=

2

sin(x+θ)∈[-

2

，

2

），能判断①的真假；
②由函数y=sin(

5π

2

-2x)=-cos2x，能判断②的真假；
③由函数y=sin(2x+

5π

4

)的图象的对称轴方程为x=

kπ

2

-

3π

8

．k∈Z．能判断③的真假；
④由y=cosx在第一象限是减函数，能判断④的真假；
⑤由函数f（x）=sin2x的最小正周期是

2π

2

=π，能判断⑤的真假．

解答：解：①∵sinx+cosx=

2

sin(x+θ)∈[-

2

，

2

），
∴存在实数x，使得sinx+cosx=

5

成立是假命题，即①是假命题；
②∵函数y=sin(

5π

2

-2x)=-cos2x，
∴函数y=sin(

5π

2

-2x)是偶函数，故②是真命题；
③∵函数y=sin(2x+

5π

4

)的图象的对称轴方程满足2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴它的对称轴方程为x=

kπ

2

-

3π

8

．k∈Z．
∴当k=1时，方程x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的图象的一条对称轴，故③是真命题；
④∵y=cosx在第一象限是减函数，
∴若α、β是第一象限的角，且α＞β，则cosα＜cosβ，故④是真命题；
⑤函数f（x）=sin2x的最小正周期是

2π

2

=π，故⑤是真命题．
故答案为：②③④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．