题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
，
，平面
平面
，且
，
．
（1）证明：
平面；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）分别取
，
的中点
，
，连结
，
，
，要证
平面
，需证明
，
，其中可通过证明
平面
来证明，通过证明
平面
来证明；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出面
的一个法向量以及直线
的方向向量，求出两向量的夹角的余弦值即为直线与平面
所成角的正弦值.
（1）证明：分别取，的中点，，连结，，.
因
，为的中点，
故
.
同理，
，
.
故平面.
故.
因平面
平面，平面
平面
，
平面，，
故平面.
则.
又，是平面中的相交直线，
故平面.
（2）由（1）知，面
，又
∥
，
面
.
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
不妨设
，则
，
，
，
，
，
则
，
，
.
设
是面的一个法向量，
则
，即
，
取
，则
.
设直线与平面所成的角为
，
则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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