题目内容
【题目】如图,已知四棱锥,
,平面
平面
,且
,
.
(1)证明:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)分别取,
的中点
,
,连结
,
,
,要证
平面
,需证明
,
,其中可通过证明
平面
来证明
,通过证明
平面
来证明
;
(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出面的一个法向量以及直线
的方向向量,求出两向量的夹角的余弦值即为直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)证明:分别取,
的中点
,
,连结
,
,
.
因,
为
的中点,
故.
同理,,
.
故平面
.
故.
因平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,
故平面
.
则.
又,
是平面
中的相交直线,
故平面
.
(2)由(1)知,面
,又
∥
,
面
.
如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,
不妨设,则
,
,
,
,
,
则,
,
.
设是面
的一个法向量,
则,即
,
取,则
.
设直线与平面
所成的角为
,
则,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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