Question

已知曲线C：y=

1

3

x3-x2-4x+1，直线l：x+y+2k-1=0，当x∈[-3，3]时，直线l 恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是（　　）

• A、k＞-

  5

  6

• B、k＜-

  5

  6

• C、K＜

  3

  4

• D、K＞

  3

  4

Answer 1

分析：将已知条件当x∈[-3，3]时，直线l 恒在曲线C的上方，等价于x在（-3，3）内（-x-2k+1）-

1

3

x3-x2-4x+1＞0恒成立，构造函数，通过求导数，判断出函数的单调性，进一步求出函数的最值．

解答：解：命题等价于x在（-3，3）内，
（-x-2k+1）-（

1

3

x3-x2-4x+1）＞0恒成立
即k＜-

1

6

x3+

1

2

x2+

3

2

x，
设y=-

1

6

x3+

1

2

x2+

3

2

x，
y'=-

1

2

x2+x+

3

2

=

1

2

（3-x）（1+x）
所以函数y=-

1

6

x3+

1

2

x2+

3

2

x，
在[-3，-1）内y递减，（-1，3]内递增
所以x=-1，y取最小值-

5

6

所以k＜-

5

6

故选B．

点评：求函数在闭区间上的最值，一般的方法是求出函数的导函数，令导函数为0，判断出根左右两边的导函数值，求出函数的极值及区间两个端点处的函数值，选出最值．