题目内容
如图,已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,DC=DD1=2AD=2AB=2.(1)求证:DB⊥平面B1BCC1;
(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使得D1E∥平面A1BD,并说明理由.
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【答案】分析:(1)由AB∥DC,AD⊥DC,知AB⊥AD,在Rt△ABD中,AB=AD=1,所以BD=
,BC=
,由此能证明BD⊥平面B1BCC1.
(2)DC的中点即为E点.由DE∥AB,DE=AB,知四边形ABED是平行四边形.故AD∥BE.由此能够证明D1E∥平面A1BD.
解答:(1)证明:∵AB∥DC,AD⊥DC,
∴AB⊥AD,在Rt△ABD中,AB=AD=1,
∴BD=
,
易求BC=
,
又∵CD=2,∴BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B,
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∴BD⊥平面B1BCC1.
(2)DC的中点即为E点.
∵DE∥AB,DE=AB,
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD∥BE.
又AD∥A1D1,∴BE∥A1D1,
∴四边形A1D1EB是平行四边形.∴D1E∥A1B.
∵D1E?平面A1BD,
∴D1E∥平面A1BD.
点评:本题考查直线垂直于平面的证明,考查平面与平面平行的应用.综合性强,具有一定的探索性,对数学思想能力要求较高.解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
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(2)DC的中点即为E点.由DE∥AB,DE=AB,知四边形ABED是平行四边形.故AD∥BE.由此能够证明D1E∥平面A1BD.
解答:(1)证明:∵AB∥DC,AD⊥DC,
∴AB⊥AD,在Rt△ABD中,AB=AD=1,
∴BD=
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易求BC=
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又∵CD=2,∴BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B,
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∴BD⊥平面B1BCC1.
(2)DC的中点即为E点.
∵DE∥AB,DE=AB,
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD∥BE.
又AD∥A1D1,∴BE∥A1D1,
∴四边形A1D1EB是平行四边形.∴D1E∥A1B.
∵D1E?平面A1BD,
∴D1E∥平面A1BD.
点评:本题考查直线垂直于平面的证明,考查平面与平面平行的应用.综合性强,具有一定的探索性,对数学思想能力要求较高.解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
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