Question

如图，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB∥DC，AD⊥DC，知AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB=AD=1，所以BD=

2

，BC=

2

，由此能证明BD⊥平面B₁BCC₁．
（2）DC的中点即为E点．由DE∥AB，DE=AB，知四边形ABED是平行四边形．故AD∥BE．由此能够证明D₁E∥平面A₁BD．

解答：（1）证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，
∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB=AD=1，
∴BD=

2

，
易求BC=

2

，
又∵CD=2，∴BD⊥BC．
又BD⊥BB₁，B₁B∩BC=B，

∴BD⊥平面B₁BCC₁．
（2）DC的中点即为E点．
∵DE∥AB，DE=AB，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD∥BE．
又AD∥A₁D₁，∴BE∥A₁D₁，
∴四边形A₁D₁EB是平行四边形．∴D₁E∥A₁B．
∵D₁E?平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD．

点评：本题考查直线垂直于平面的证明，考查平面与平面平行的应用．综合性强，具有一定的探索性，对数学思想能力要求较高．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．