Question

已知函数f(x)=(-1)²+(-1)²的定义域为［m,n)且1≤m＜n≤2.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)证明：对任意x₁、x₂∈［m,n］,不等式?|f(x₁)-f(x₂)|＜1恒成立.

Answer 1

（1）解析：解法一：∵f(x)=(-1)²+?(-1)²=+2,

∴f′(x)=·(x⁴-m²n²-mx³+m²nx)=(x²-mx+mn)(x+)

(x-).

∵1≤m≤x＜n≤2,∴＞0,x²-mx+mn=x(x-m)+mn＞0,x+＞0.

令f′(x)=0,得x=，

①当x∈［m,］时，f′(x)＜0;

②当x∈［，n］时，f′(x)＞0.

∴f(x)在［m,］内为减函数，在［，n）为内增函数.

解法二：由题设可得

f(x)=（-1）²-+1.

令t=.

∵1≤m＜n≤2,且x∈［m,n］,

∴t=≥2,＞2.

令t′==0,得x=.

当x∈［m,］,t′＜0;当x∈(,n)时，t′＞0.∴t=在［m,］内是减函数，在［，n］内是增函数.∵函数y=(t-1)²-+1在［1，+∞)上是增函数，∴函数f(x)在［m, ］内是减函数，在［，n］内是增函数.

（2）证明：由（1）可知，f(x)在［m,n］上的最小值为f()=2(-1)²,最大值为f(m)=(-1)².

对任意x₁、x₂∈［m,n］,|f(x₁)-f(x₂)|≤(-1)²-2(-1)²=()²-4·+4-1.令u=,h(u)=u⁴-4u²+4u-1.

∵1≤m＜n≤2,∴1＜≤2,即1＜u≤.∵h′(u)=4u³-8u+4=4(u-1)(u-)(u+)＞0,

∴h(u)在(1,)上是增函数.∴h(u)≤h()=4-8+4-1=4-5＜1.

∴不等式|f(x₁)-f(x₂)|＜1恒成立.