Question

1．O为坐标原点，直线l与圆x²+y²=2相切．
（1）若直线l分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及面积取得最小值时的直线l的方程．
（2）设直线l交椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于P、Q两点，M为PQ的中点，求|OM|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，由直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式，即可得到面积的最小值和此时直线的方程；
（2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合判别式大于0，化简整理即可得到所求范围．

解答 解：（1）设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a，b＞0），
由直线和圆x²+y²=4相切，可得$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$≥$\frac{2}{ab}$，即ab≥4，
当且仅当a=b=2时，取得等号．
则△AOB面积S=$\frac{1}{2}$ab的最小值为2；
此时直线的方程为x+y-2=0；
（2）若直线的斜率不存在，设为x=t，
由直线和圆相切可得，t=-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．
代入椭圆方程可得，y=±$\sqrt{2}$，
可得中点M坐标为（-$\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0），|OM|=$\sqrt{2}$；
设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-6）＞0，
即为m²＜3+6k²，
由直线和圆相切，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
即为m²=2+2k²，由2+2k²＜3+6k²，可得k∈R，
设P，Q的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，中点M的坐标为（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
即有|OM|=$\sqrt{（-\frac{2km}{1+2{k}^{2}}）^{2}+（\frac{m}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（2+2{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
设1+2k²=t（t≥1），则|OM|=$\frac{\sqrt{（2t-1）（t+1）}}{t}$=$\sqrt{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}$
=$\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$，由t≥1可得t=2取得最大值$\frac{3}{2}$，
t=1时，取得最小值$\sqrt{2}$．
故|OM|的范围是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查直线和圆相切的条件，直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．