Question

已知S_n=a₁+a₂+…+a_n,n∈N^*.

(1)若S_n=n·2^n-1(n∈N^*),是否存在等差数列{a_n}对一切自然数n满足上述等式?

(2)若数列{a_n}是公比为q(q≠±1),首项为1的等比数列,b₁+b₂+…+b_n=(n∈N^*).求证:{b_n}是等比数列.

Answer 1

解:(1)假设存在等差数列{a_n}满足条件.设a_n=nd+a,

∴

+a·(2ⁿ-1)=d·n·2^n-1+a(2ⁿ-1)

=n·2^n-1,

令d=1,a=0满足上式.

故存在等差数列{a_n}满足题设.

(2),

∴S=［·(q-1)+·(q²-1)+ …+(qⁿ-1)］

=［(1+q)ⁿ-2ⁿ］.

∴.

当n≥2时,;

当n=1时,满足上式.

∴.故{b_n}是首项为,公比为的等比数列.