Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n（n∈N^*），求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{$\frac{{a}_{n}}{4}$}的前2012项和S₂₀₁₂．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，利用“累乘求积”即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-3}}{{a}_{n-4}}$•…•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$$•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{n-1}{n+1}$$•\frac{n-2}{n}$$•\frac{n-3}{n-1}$•…•$\frac{3}{5}$$•\frac{2}{4}$$•\frac{1}{3}$×2
=$\frac{4}{n（n+1）}$，n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$．
（2）$\frac{{a}_{n}}{4}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{4}$}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{4}$}的前2012项和S₂₀₁₂=$\frac{2012}{2013}$．

点评 本题考查了“累乘求积”、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．