题目内容
【题目】如图三棱柱中,侧面
为菱形,
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,
,AB=BC,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)由四边形是菱形可以得到
,结合
有
平面
,因此
,根据
是
的中点得到
.(2)由题设条件可证明
,从而
两两相互垂直,设
为单位长,则建立如图所示空间直角坐标系
,通过计算半平面的法向量的夹角来计算二面角的余弦值.
解析:(1)连接,交
于点
,连接
,因为侧面
为菱形,所以
,且
为
及
的中点,又
,
,所以
平面
.由于
平面
,故
.又
,故
.
(2)因为,且
为
的中点,所以
.又因为
,所以
,故
,从而
两两相互垂直,
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长,建立如图所示空间直角坐标系
.
因为,所以
为等边三角形,又
,则
,
.
,
,设
是平面
的法向量,则
,即
,所以可取
,设
是平面
的法向量,则
,同理可取
,
,所以二面角
的余弦值为
.
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练习册系列答案
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【题目】近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨);
“厨余垃圾”箱 | “可回收物”箱 | “其他垃圾”箱 | |
厨余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
可回收物 | 30 | 240 | 30 |
其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.
(求:S2= [
+
+…+
],其中
为数据x1 , x2 , …,xn的平均数)