Question

已知函数f(x)=

x

2x2+1

，定义正数数列a_n：a1=

1

2

，a_n+1²=2a_nf（a_n），n∈N⁺．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=

4+(-1)n[ 1 a 2 2n+2 -2]

1-(-1)n[ 1 a 2 2n+2 -2]

，设数列{bn}的前n项和为Rn．已知正实数λ满足：对任意正整数n，R_n≤λn恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先将函数代入递推式，然后进行化简得出2（

1

a 2 n+1

-2）=

1

a 2 n

-2，记C_n=

1

a 2 n

-2从而确定c_n是一个以

1

2

为公比的等比数列，进而求出数列通项公式．
（2）由 bn=4+

5

(-4)n-1

知R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1=4n+5×(-

1

41+1

+

1

42-1

-

1

43+1

+…-

1

42k+1+1

)=4n+5×[-

1

41+1

+(

1

42-1

-

1

43+1

)+…+(

1

42k-1

-

1

42k+1+1

)]＞4n-1．由此入手能推导出正实数λ的最小值为4．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

x

2x2+1

，
∴a_n+1²=2a_nf（a_n）=

2an2

2an2+1

，
∴a_n+1²+2a_n²a_n+1²=2a_n²⇒

2

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=2⇒2（

1

a 2 n+1

-2）=

1

a 2 n

-2

记C_n=

1

a 2 n

-2∴cn是一个以

1

2

为公比的等比数列，c₁=2
∴c_n=2^2-n，而

a

2 n

=

1

cn+2

于是可以得到正数数列a_n=

2n-1 2+2n

（2）由（1）整理得bn=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

=4+

5

(-4)n-1

一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n为大于1的奇数时，设n=2k+1（k∈N⁺）
则R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1
=4n+5×(-

1

41+1

+

1

42-1

-

1

43+1

+…-

1

42k+1+1

)
=4n+5×[-

1

41+1

+(

1

42-1

-

1

43+1

)+…+(

1

42k-1

-

1

42k+1+1

)]
＞4n-1
∴λn≥R_n＞4n-1，即（λ-4）n＞-1对一切大于1的奇数n恒成立
∴λ≥4否则，（λ-4）n＞-1只对满足 n＜

1

4-λ

的正奇数n成立，矛盾．
另一方面，当λ=4时，对一切的正整数n都有R_n≤4n
事实上，对任意的正整数k，有
b2n-1+b2n=8+

5

(-4)2k+1-1

+

5

(-4)2k-1

=8+

5

(16)k-1

-

20

(16)k+4

=8-

15×16k-40

(16k-1)(16k+4)

＜8
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N⁺）
则R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）
＜8m=4nw、w、w、k、s、5、u、c、o、m
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N⁺）
则R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-3+b_2n-2）+b_2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴对一切的正整数n，都有R_n≤4n
综上所述，实数λ的最小值为4．

点评：本题考查了本题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力，此题综合性很强，属于难题．