题目内容

给出下列命题：
①命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；
②设p、q 为简单命题，则“p且q”为假是“p或q为假的必要而不充分条件”；
③函数f（x）=e-xx2的极小值为f（0），极大值为f（2）；
④双曲线的渐近线方程是y=±
3
4
x，则该双曲线的离心率是
5
4
．
⑤等差数列{an}中首项为a1，则数列{2an}为等比数列；
其中真命题的序号为
②③⑤
②③⑤
（写出所有真命题的序号）
分析：根据含有量词命题的否定，可得①不正确；根据逻辑联结词的理解和充要条件的判断，可得②正确；利用导数研究函数f（x）=e-xx2的单调性，可得③正确；根据双曲线的焦点不一定在x轴，由渐近线方程可得两个离心率，因此④不正确；根据等差数列的通项公式和等差、等比数列的关系，可得⑤正确．
解答：解：对于①，由于命题“所有的正方形都是矩形”是全称命题，
故它的否定是“有的正方形不是矩形”，故①不正确；
对于②，根据“p且q”为假得p、q中有假，不一定得到“p或q”是假
反之或“p或q”是假，则p、q都为假，可得“p且q”为假
因此“p且q”为假是“p或q”为假的必要而不充分条件，得②正确；
对于③，求得f（x）=e-xx2的导数f'（x）=e-xx（2-x）
可得函数在区间（-∞，0）和（2，+∞）上为减函数，在区间（0，2）上为增函数
因此函数f（x）=e-xx2的极小值为f（0），极大值为f（2），可得③正确；
对于④，双曲线的渐近线方程是y=±
3
4
x时，该双曲线的离心率是
5
4
或
5
3
，可得④不正确；
对于⑤，若数列{an}成等差，首项为a1，设公差为d
可得数列{2an}的通项为bn=2an=2a1+(n-1)d，构成以2a1为首项，公比q=2d的等比数列，可得⑤正确
故答案为：②③⑤
点评：本题着重考查了命题真假的判断和充要条件、利用导数研究函数的单调性、双曲线的基本概念和等差等比数列的通项与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•济宁一模）给出下列命题：
①命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x≤0”；
②命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；
③f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2*．则x＜0时的解析式为f（x）=-2-x；
④若随机变量ξ～N（1，σ2），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2．
其中真命题的序号是
①③④
①③④
．（写出所有你认为正确命题的序号）
给出下列命题：①命题“?x∈R，x2-2x-3＞0”的否定“?x∈R，x2-2x-3＜0”②若命题“?p”为真，命题“p∨q为真，则命题q为真；③若q是q的必要不充分条件，则命题“若p则q”的否命题是真命题，逆否命题是假命题．其中正确命题是
②③
②③
（把你认为正确的命题序号都填上）
（2012•安徽模拟）给出下列命题，其中正确的命题是
①③④
①③④
（写出所有正确命题的编号）．
①非零向量
a
、
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，则
a
与
a
+
b
的夹角为30°；
②已知非零向量
a
、
b
，则“
a
•
b
＞0”是“
a
、
b
的夹角为锐角”的充要条件；
③命题“在三棱锥O-ABC中，已知
OP
=x
OA
+y
OB
-2
OC
，若点P在△ABC所在的平面内，则x+y=3”的否命题为真命题；
④若(
AB
+
AC
)•(
AB
-
AC
)=0，则△ABC为等腰三角形．

给出下列命题：
命题1：点(1,1)是直线y = x与双曲线y = 的一个交点;
命题2：点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y = 的一个交点
命题3：点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y = 的一个交点
请观察上面命题，猜想出命题(是正整数)为：                  

给出下列命题：

命题1：点(1,1)是直线y = x与双曲线y = 的一个交点;

命题2：点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y = 的一个交点;

命题3：点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y = 的一个交点;

     … … .

请观察上面命题，猜想出命题(是正整数)为：                                      .

 

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