Question

如图，在面积为1的正△A₁B₁C₁内作正△A₂B₂C₂，使

A1A2

=2

A2B1

，

B1B2

=2

B2C1

，

C1C2

=2

C2A1

，依此类推，在正△A₂B₂C₂内再作正△A₃B₃C₃，…．记正△A_iB_iC_i的面积为a_i（i=1，2，…，n），则a₁+a₂+…+a_n=

3

2

(1-

1

3n

)

．

Answer 1

分析：先利用边长之间的关系得出三角形的面积组成以 1为首项，

1

3

为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求和

解答：解：由

A1A2

=2

A2B1

，

B1B2

=2

B2C1

，

C1C2

=2

C2A1

，可得S2=

1

3

S1
依此类推可得所作三角形的面积构成以1为 项，以

1

3

为公比的等比数列
∴a₁+a₂+…+a_n=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)
故答案为：

3

2

(1-

1

3n

)

点评：本题主要考查等比数列的和的求解，关键是从实际问题中抽象出等比数列的模型，进而再利用等比数列的求和公式