Question

已知两个集合A={x∈R|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，若A交B为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：由A={x∈R|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅，
分三种情况考虑：
（1）当A=∅时，△=（a+2）²-4＜0，即a（a+4）＜0，
解得：-4＜a＜0；
（2）当A中有两个元素时，设方程x²+（a+2）x+1=0的两根分别为x₁，x₂，
则有△=（a+2）²-4＞0，解得：a＜-4或a＞0，
又x₁+x₂=-（a+2）＜0，解得：a＞-2，
∴此时a的范围为a＞0；
（3）当A中只有一个元素时，△=（a+2）²-4=0，
解得：a=-4或a=0，
经检验a=-4时，方程解为1，不合题意；a=0时，方程解为-1，符合题意，
此时a的值为0，
综上，满足题意a的范围为a＞-4．
分析：由集合A和集合B，以及两集合交集为空集，分三种情况考虑：
（1）当集合A为空集时，集合A中的方程无解，得到根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围；
（2）当集合A中的元素有2个时，集合A中的方程有2个不相等的实数根，即根的判别式大于0，且两根之和小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围；
（3）当集合A中的元素只有1个时，集合A中的方程有2个相等的实数根，即根的判别式等于0，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程检验，得到满足题意a的值，
综上，得到满足题意的a的范围．
点评：此题考查了交集及其运算，涉及的知识有：根与系数的关系，根的判别式，以及空集的定义，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．