Question

【题目】为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲乙两人进入决赛，争夺冠亚军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②比赛前两人答题的先后顺序通过抽签决定后，双方轮流答题，每次回答一道，；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得 3 分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为 和 ，且每次答题的结果相互独立．
（Ⅰ）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；
（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为 X，求X的分布列和数学期望 EX．

Answer 1

【答案】解：（I）设“乙先答题，甲3：0获胜”为事件A，只能是答完3道题结束，此时乙答错2道题，甲答对1道题． 则P1= = ．
（II）由题意可得：X的可能取值为0，1，2，3．
① X=0时，则答完3道题结束，此时乙答错1道题，甲答对2道题，此时甲得3分，乙得0分，则P（X=0）= ×（1﹣ ）× = ．
②X=1，则答完4道题结束，此时共有一下3种情况：甲错乙错甲对乙错；甲对乙错甲错乙错；
甲对乙对甲对乙错．
∴P（X=1）=（1﹣ ）×（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+ ×（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）+ × × ×（1﹣ ）= ．
③X=2，则第5次必须是甲答对，此时共有一下6种情况：甲对乙对甲对乙对甲对；甲对乙对甲错乙错甲对；甲对乙错甲错乙对甲对；甲错乙对甲对乙错甲对；甲错乙错甲对乙对甲对；甲错乙错甲错乙错甲对．
∴P（X=2）= ×4+ + = ．
④X=3，P（X=3）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=2）=1﹣ ﹣ ﹣ = ．
其分布列为：

X	0	1	2	3
P

E（X）=0+ +2× + =
【解析】（I）设“乙先答题，甲3：0获胜”为事件A，只能是答完3道题结束，此时乙答错2道题，甲答对1道题． 即可得出．（II）由题意可得：X的可能取值为0，1，2，3．
①X=0时，则答完3道题结束，此时乙答错1道题，甲答对2道题，此时甲得3分，乙得0分，即可得出．②X=1，则答完4道题结束，此时共有一下3种情况：甲错乙错甲对乙错；甲对乙错甲错乙错；甲对乙对甲对乙错．③X=2，则第5次必须是甲答对，此时共有一下6种情况：甲对乙对甲对乙对甲对；甲对乙对甲错乙错甲对；甲对乙错甲错乙对甲对；甲错乙对甲对乙错甲对；甲错乙错甲对乙对甲对；甲错乙错甲错乙错甲对．④X=3，P（X=3）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=2）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．