题目内容

(2012•上海)已知数列{an}、{bn}、{cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
(1)设cn=3n+6,{an}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值;
(2)设cn=n3ann2 -8n.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有bn≥bk
(3)设cn=2n +nan=
1+(-1)n2
.当b1=1时,求数列{bn}的通项公式.
分析:(1)先根据条件得到数列{bn}的递推关系式,即可求出结论;
(2)先根据条件得到数列{bn}的递推关系式;进而判断出其增减性,即可求出结论;
(3)先根据条件得到数列{bn}的递推关系式;再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式,最后综合即可.
解答:解:(1)∵an+1-an=3,
∴bn+1-bn=n+2,
∵b1=1,
∴b2=4,b3=8.
(2)∵ann2 -8n
∴an+1-an=2n-7,
∴bn+1-bn=
n3
2n-7

由bn+1-bn>0,解得n≥4,即b4<b5<b6…;
由bn+1-bn<0,解得n≤3,即b1>b2>b3>b4
∴k=4.
(3)∵an+1-an=(-1)n+1
∴bn+1-bn=(-1)n+1(2n+n).
∴bn-bn-1=(-1)n(2n-1+n-1)(n≥2).
故b2-b1=21+1;
b3-b2=(-1)(22+2),

bn-1-bn-2=(-1)n-1(2n-2+n-2).
bn-bn-1=(-1)n(2n-1+n-1).
当n=2k时,以上各式相加得
bn-b1=(2-22+…-2n-2+2n-1)+[1-2+…-(n-2)+(n-1)]
=
2-2 n-1(-2)
1-(-2)
+
n
2
=
2+2n
3
+
n
2

∴bn=
2+2n
3
+
n
2
+1
=
2n
3
+
n
2
+
5
3

当n=2k-1时,
bn=bn+1-(-1) n+1(2n+n)
=
2n+1
3
+
n+1
2
+
5
3
-(2n+n)
=-
2n
3
-
n
2
+
13
6

∴bn=
-
2n
3
-
n
2
+
13
6
       n=2k-1
2n
3
+
n
2
+
5
3
         n=2k
k∈N +
点评:本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用.是对数列知识的综合考察,属于难度较高的题目.
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