题目内容

在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA=100km，PB=150km，BC=60km，∠APB=60°，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．

解：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA，PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任意一点，则有PA+MA=PB+MB，即MA-MB=PB-PA=50（定值），
∴界线为以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．
如图所示．以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设所求双曲线的标准方程为
$\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）
∵a=25，2c=AB= $\text{[math]}$ =50 $\text{[math]}$
∴c=25 $\text{[math]}$ ，b²=c²-a²=3750
∴双曲线方程为 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴y_max=60，此时x=35，
∴所求方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA，PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹．建立坐标系，利用双曲线的定义，即可得到结论．
点评：本题考查双曲线的定义，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．