题目内容

2.函数y=$\frac{1}{3}{x^3}$+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是[-1,2].

分析 三次函数y=$\frac{1}{3}$x3+bx2+(b+2)x+3的单调性,通过其导数进行研究,故先求出导数,利用其导数恒大于0即可解决问题.

解答 解:若函数y=$\frac{1}{3}{x^3}$+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,
则只需y′=x2+2bx+b+2≥0在R上恒成立即可,
∴x2+2bx+b+2≥0恒成立,
∴△≤0,即b2-b-2≤0,
则b的取值是-1≤b≤2.
故答案为:[-1,2].

点评 本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题,属于基础题.

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