Question

19．已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-6．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（0，2π），求证：lnx+cosx+$\frac{3π}{2x}≥\frac{sinx}{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先确定函数f（x）的定义域，再求导f′（x）=lnx+1，从而判断函数的单调性及最值；
（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立可化为a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$恒成立，（x∈[3，+∞））；从而化为函数h（x）=lnx+x+$\frac{6}{x}$的最值问题，从而解得．
（Ⅲ）由题意，原命题可化为xlnx≥sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$；从而设P（x）=sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$，则P′（x）=xsinx，从而可得P_max（x）=P（π）=-$\frac{π}{2}$；从而证明．

解答 解：（Ⅰ）由条件知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增；
故f_min（x）=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，
即xlnx≥-x²+ax-6恒成立，（x∈[3，+∞））；
即a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$恒成立，（x∈[3，+∞））；
令h（x）=lnx+x+$\frac{6}{x}$，则h′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-6}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-2）}{{x}^{2}}$；
故h（x）在[3，+∞）上是增函数；
故h_min（x）=h（3）=5+ln3；
故实数a的取值范围为（-∞，5+ln3]．
（Ⅲ）证明：由题意，当x∈（0，2π）时，
要证：lnx+cosx+$\frac{3π}{2x}≥\frac{sinx}{x}$成立，
只需证xlnx≥sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$；
设P（x）=sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$，则P′（x）=xsinx，
故P（x）在（0，π）上是增函数，在（π，2π）上是减函数；
故P_max（x）=P（π）=-$\frac{π}{2}$；
由（Ⅰ）知，f_min（x）=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$＞-$\frac{π}{2}$；
故当x∈（0，2π），lnx+cosx+$\frac{3π}{2x}≥\frac{sinx}{x}$恒成立．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于难题．