Question

在平面内，设到定点F(0，2)和x轴距离之和为A的点P轨迹为曲线C，直线l过点F，交曲线C于M，N两点．
(Ⅰ)说明曲线C的形状，并画出图形；
(Ⅱ)求线段MN长度的范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)设动点P(x，y)，由已知得：，
当y≥0时，，化简，得；
当y≤0时，，化简，得x²=12(y+l)，
∴如图：曲线C是焦点在F(0，2)，准线分别为y=-4和y=4，顶点分别是（0，-1）和(0，3)的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD，

 (Ⅱ)当M，N在两支抛物线上时，过M，N分别作相应准线的垂线，垂足分别是M₁，N₁，
由抛物线定义，MM₁=MF；NN₁=NF，
设M，N的纵坐标分别为y₁，y₂，|MN|=8-(|y₁|+|y₂|)，
当l过BD时， |MN|最小，最小值为4，
当l过C（或A）时，|MN|最大，
此时直线l的方程为-x+y=2和抛物线x²=-4（y-3），
另一交点，|MN|最大值为，|MN|范围是，
当M．N都在上支抛物线上时，易求|MN|范围也是；
∴综上所述，|MN|范围是。