题目内容
已知数列
,
满足
,其中
.
(Ⅰ)若
,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)若
,且
.
(ⅰ)记
,求证:数列
为等差数列;
(ⅱ)若数列
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项
应满足的条件.




(Ⅰ)若


(Ⅱ)若


(ⅰ)记


(ⅱ)若数列


(Ⅰ)

(Ⅱ)
(ⅰ)证明略
(ⅱ)设集合


当


当




解:(Ⅰ)当
时,有

…………2分
. ………………3分
又因为
也满足上式,所以数列
的通项为
.…………4分
(Ⅱ)(ⅰ)因为对任意的
有
,………………5分
所以

,
所以数列
为等差数列. ………………7分
(ⅱ)设
,(其中
为常数且
),所以

所以数列
均为以7为公差的等差数列. ………………9分
设
,
(其中
,
为
中的一个常数),
当
时,对任意的
有
; ………………10分
当
时,

……………11分
①若
,则对任意的
有
,所以数列
为单调减数列;
②若
,则对任意的
有
,所以数列
为单调增数列;…12分
综上:设集合
,
当
时,数列
中必有某数重复出现无数次.
当
时,
均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,所以数列
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ……14分




又因为



(Ⅱ)(ⅰ)因为对任意的


所以



所以数列

(ⅱ)设




所以数列

设

(其中




当




当



①若




②若




综上:设集合


当


当





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