Question

抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|＝.

(1)求抛物线的方程；

(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【解析】　(1)设所求抛物线的方程为y²＝2px(p>0)，

由消去y，

得x²－2(1＋p)x＋1＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝2(1＋p)，

x₁·x₂＝1.∵|AB|＝，

∴

＝，∴121p²＋242p－48＝0，

∴p＝或－(舍)．

∴抛物线的方程为y²＝x.

(2)设AB的中点为D，

则D.

假设x轴上存在满足条件的点C(x_0,0)，∵△ABC为正三角形，

∴CD⊥AB，∴x₀＝.

∴C，∴|CD|＝.

又∵|CD|＝|AB|＝，

故矛盾，∴x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形．