Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以D为坐标原点，

分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

=（2，0，﹣2）， =（0，1，1）， ，

设 是平面BDE的一个法向量，

则由 ，得 ，

取y=﹣1，得 ．

∵ =2﹣2=0，∴ ，

又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，

（2）解：由（1）知 =（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，

又 = =（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．

设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，

∴cosθ=cos＜ ， ＞= ．

故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为 ．

（3）解：∵ =（2，2，﹣2）， =（0，1，1），

∴ =0，∴PB⊥DE，

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设 ，（0＜λ∠1），

则 =（2λ，2λ，﹣2λ）， = =（2λ，2λ，2﹣2λ），

由 =0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，

∴ ∈（0，1），此时PF= ，

即在棱PB上存在点F，PF= ，使得PB⊥平面DEF．

【解析】（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE．（2）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设 ，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF= ，使得PB⊥平面DEF．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．