Question

已知点A、B、C的坐标分别为A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα），其中t∈R，α∈[

π

3

，

4π

3

]．
（Ⅰ）若t=4，

AC

•

BC

=-2，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值；
（Ⅱ）记f(α)=|

AC

|，若f（α）的最大值为3，求实数t的值．

Answer 1

分析：（I）当t=4时，

AC

=(cosα-4，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-4)，由已知

AC

•

BC

=-2可得sinα+cosα=

3

4

，利用同角平方关系可求sinαcosα，对

2sin2α+sin2α

1+tanα

进行化简，代入可求
（Ⅱ）由f(α)=|

AC

|=

(cosα-t)2+sin2α

=

t2-2tcosα+1

，由α∈[

π

3

，

4π

3

]可得-1≤cosα≤

1

2

，分①t＞0，②t＜0，两种情况讨论求解

解答：解：（Ⅰ）∵A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα）
∴

AC

=(cosα-t，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-4)
当t=4时，

AC

=(cosα-4，sinα)
∴

AC

•

BC

=cosα(cosα-4)+sinα(sinα-4)=cos²α-4cosα+sin²α-4sinα
=1-4（cosα+inα）=-2
∴sinα+cosα=

3

4

∴2sinαcosα=-

7

16

∴

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sin2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

cosα+sinα

=2sinαcosα=-

7

16

（Ⅱ）∵f(α)=|

AC

|=

(cosα-t)2+sin2α

=

t2-2tcosα+1

∵α∈[

π

3

，

4π

3

]
∴-1≤cosα≤

1

2

若t＞0，则f（x）_max=

1+t2+2t

=3
∴t=2
若t＜0，则f（x）_max=

1+t2-t

=3
∴t=

1- 33

2

∴t=2或

1- 33

2

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，三角函数的同角平方关系及三角函数的基本关系，向量的数量积的性质及三角函数性质等知识的综合应用．