题目内容

已知函数f(x)=
x2-2x+2x-1
,(1)证明:|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|
(2)设x是正实数,求证:[f(x+1)]n-f(xn+1)≥2n-2.
分析:(1)由题设知|f(tx+1)|=|tx+
1
tx
|=|tx|+
1
|tx|
≥2
|tx|•
1
|tx|
=2
,由0<|x|<1,0<|t|<1,知|tx|≠1,|f(tx+1)|>2s=(|t+x|+|t-x|2)=2(t2+x2)+2|t2-x2|-(|t+x|+|t-x|)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|,由此能证明|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|.
(2)[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+
1
x
)n-(xn+
1
xn
)=Cn1xn-1
1
x
+Cn2xn-2
1
x2
+
+Cnn-2x2
1
xn-2
+Cnn-1x•
1
xn-1
=Cn1xn-2+Cn2xn-4++Cnn-2
1
xn-4
+Cnn-1
1
xn-2
1
2
[2-(
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n-1
n
)]
=Cn1+Cn2+…+Cnn-1=2n-2.
解答:证明:(1)∵f(x)=
(x-1)2+1
x-1
,∴f(tx+1)=tx+
1
tx

|f(tx+1)|=|tx+
1
tx
|=|tx|+
1
|tx|
≥2
|tx|•
1
|tx|
=2

当且仅当|tx|=1时,上式取等号.
∵0<|x|<1,0<|t|<1,
∴|tx|≠1,
∴|f(tx+1)|>2s=(|t+x|+|t-x|2=2(t2+x2)+2|t2-x2|-(|t+x|+|t-x|)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|
当|t|≥|x|时,s=4t2≤4;当|t|≤|x|时s=4x2<4
∴|t+x|+|t-x|≤2<|f(tx+1)|即|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|
(2)n=1时,结论显然成立
当n≥2时,[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+
1
x
)n-(xn+
1
xn
)=Cn1xn-1
1
x
+Cn2xn-2
1
x2
+
+Cnn-2x2
1
xn-2
+Cnn-1x•
1
xn-1
=Cn1xn-2+Cn2xn-4++Cnn-2
1
xn-4
+Cnn-1
1
xn-2
=
1
2
[Cn1(xn-2+
1
xn-2
)+Cn2(xn-4+
1
xn-4
)++Cnn-1(xn-2+
1
xn-2
)]

1
2
[2-(
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n-1
n
)]

=Cn1+Cn2+…+Cnn-1=2n-2.
点评:本题考查不等式的证明和应用,解题时要注意公式的合理应用.
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