Question

已知函数f(x)=

x2-2x+2

x-1

，（1）证明：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）设x是正实数，求证：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

分析：（1）由题设知|f(tx+1)|=|tx+

1

tx

|=|tx|+

1

|tx|

≥2

|tx|• 1 |tx|

=2，由0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，知|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|²）=2（t²+x²）+2|t²-x²|-（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|，由此能证明|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
（2）[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)=Cn1xn-1•

1

x

+Cn2xn-2•

1

x2

++Cnn-2x2•

1

xn-2

+Cnn-1x•

1

xn-1

=Cn1xn-2+Cn2xn-4++Cnn-2•

1

xn-4

+Cnn-1•

1

xn-2

，≥

1

2

[2-(

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

)]=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2．

解答：证明：（1）∵f(x)=

(x-1)2+1

x-1

，∴f(tx+1)=tx+

1

tx

，
∴|f(tx+1)|=|tx+

1

tx

|=|tx|+

1

|tx|

≥2

|tx|• 1 |tx|

=2，
当且仅当|tx|=1时，上式取等号．
∵0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，
∴|tx|≠1，
∴|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|²=2（t²+x²）+2|t²-x²|-（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|
当|t|≥|x|时，s=4t²≤4；当|t|≤|x|时s=4x²＜4
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）n=1时，结论显然成立
当n≥2时，[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)=Cn1xn-1•

1

x

+Cn2xn-2•

1

x2

++Cnn-2x2•

1

xn-2

+Cnn-1x•

1

xn-1

=Cn1xn-2+Cn2xn-4++Cnn-2•

1

xn-4

+Cnn-1•

1

xn-2

=

1

2

[Cn1(xn-2+

1

xn-2

)+Cn2(xn-4+

1

xn-4

)++Cnn-1(xn-2+

1

xn-2

)]
≥

1

2

[2-(

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

)]
=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2．

点评：本题考查不等式的证明和应用，解题时要注意公式的合理应用．