题目内容
【题目】如图，在长方体
中，
，
为
的中点，
为
的中点，
为线段
上一点，且满足
，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）解法一： 作
的中点
，连接
，
.利用三角形的中位线证得
，利用梯形中位线证得
，由此证得平面
平面
，进而证得
平面
.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线
的方向向量和平面的法向量垂直，证得平面.
（2）利用平面
和平面
法向量，计算出二面角
的余弦值.
（1）法一：作的中点，连接，.又
为
的中点，∴为
的中位线，∴，又
为
的中点，∴为梯形
的中位线，∴，在平面中，
，在平面中，
，∴平面平面，又
平面，∴平面.
另解：（法二）∵在长方体
中，
，
，
两两互相垂直，建立空间直角坐标系
如图所示，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（1）设平面的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，
.∴
，又
，
∵
，
，又
平面，平面.
（2）设平面的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，
.∴
.
同理可算得平面的一个法向量为
∴
，
又由图可知二面角的平面角为一个钝角，
故二面角
的余弦值为.
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