题目内容
【题目】已知椭圆C： 
的离心率为 
，直线l：x+y﹣1=0与C相交于A，B两点．
（1）证明：线段AB的中点为定点，并求出该定点坐标；
（2）设M（1，0）， 
，当 
时，求实数λ的取值范围．
【答案】
（1）解：由离心率为 
，得a2=3b2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 
，消去y得4x2﹣6x+3（1﹣b2）=0
故 
， 
，
所以 
， 
．
故线段AB的中点为定点 
．
（2）解：M（1，0）， 
，得x1﹣1=λ（1﹣x2）．
结合 
解得 
， 
．
由 得 
．
因为 
，故 
，
从而 
．
解得 
【解析】（1）由离心率得a2=3b2 ． ，联立 ，得4x2﹣6x+3（1﹣b2）=0，由此利用韦达定理能证明线段AB的中点为定点，并能求出该定点坐标．（2）由 ，得x1﹣1=λ（1﹣x2），从而 ，由此能求出实数λ的取值范围．
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