Question

18．已知关于x的不等式ax²+2x+c＞0的解集为$（-\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$，其中a，c∈R，则关于x的不等式-cx²+2x-a＞0的解集是（-2，3）．

Answer 1

分析 根据一元二次不等式与对应二次方程的关系，结合根与系数的关系，求出a、c的值，即可求出不等式-cx²+2x-a＞0的解集．

解答 解：∵关于x的不等式ax²+2x+c＞0的解集为（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$是一元二次方程ax²+2x+c=0的两实数根，且a＜0；
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{a}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\\{\frac{c}{a}=-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=-12，c=2；
∴不等式-cx²+2x-a＞0化为-2x²+2x+12＞0，
即x²-x-6＜0，
化简得（x+2）（x-3）＜0，
解得-2＜x＜3，
该不等式的解集为（-2，3）．
故答案为：（-2，3）．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应二次方程的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．