题目内容
已知函数g（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，其中点A（| π |
| 3 |
| 11π |
| 6 |
（I）求函数y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）=2g（x）cosx+m在[0，
| π |
| 2 |
分析：（Ⅰ）根据图象可知
×T=
-
，解得T的值，进而求得w，再根据顶点坐标可得A=2，将点A点的坐标代入函数y=g（x），可得sin（
+φ）=1，结合0＜φ＜π求得 φ，从而得到函数解析式．
（Ⅱ）根据两角和差的正弦函数化简f（x）的解析式为2sin（2x+
）+m+1，根据x的范围求得f（x）的最大值为2+m+1=6，求得m的值，即可确定f（x）的解析式，由此求得函数取得最小值时x值的集合．
| 3 |
| 4 |
| 11π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）根据两角和差的正弦函数化简f（x）的解析式为2sin（2x+
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）根据图象可知
×T=
-
，解得T=2π． 再由
=2π，可得w=1．
由顶点坐标可得A=2，所以，g（x）=2sin（x+φ），
将点A点的坐标代入函数y=g（x），可得sin（
+φ）=1，∴
+φ=2kπ+
，k∈z．
再结合0＜φ＜π求得 φ=
．
所以，g（x）=2sin（x+
）．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=2g（x）cosx+m=4sin（x+
）cosx+m=4（
sinx+
cosx）cosx+m
=2
sinxcosx+2cos2x+m=
sin2x+2cos2x+1+m=2sin（2x+
）+m+1．…（9分）
由x∈[0，
]，得 2x+
∈[
，
]，于是函数f（x）的最大值为2+m+1=6，解得m=3．
所以f（x）=2sin（2x+
）+4．
当x∈R时，f（x）的最小值为-2+4=2，此时x满足2x+
=2kπ+
，k∈z，
相应的x值的集合为{x|x=kπ+
，k∈z}．…（12分）
| 3 |
| 4 |
| 11π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| w |
由顶点坐标可得A=2，所以，g（x）=2sin（x+φ），
将点A点的坐标代入函数y=g（x），可得sin（
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
再结合0＜φ＜π求得 φ=
| π |
| 6 |
所以，g（x）=2sin（x+
| π |
| 6 |
（Ⅱ）f（x）=2g（x）cosx+m=4sin（x+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=2
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
所以f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
当x∈R时，f（x）的最小值为-2+4=2，此时x满足2x+
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
相应的x值的集合为{x|x=kπ+
| 2π |
| 3 |
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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