题目内容

已知正项数列{an}中,a1=1,点(
an
,an+1)(n∈N)在函数y=x2+1的图象上,数列{bn}的n项和sn=2-bn
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设Cn=
-1
an+1log2bn+1
,求{Cn}的前n项和Tn
分析:(1)点 (
an
an+1)
在函数y=x2+1的图象上得到an+1-an=1所以an是以1为首项,1为公差的等差数列,然后根据sn=2-bn,得出数列{bn}是公比为
1
2
的等比数列,即可求出{bn}的通项公式.
(2)首先根据对数的运算性质求出
log
bn+1
2
=
log
(
1
2
)
n
2
=-n,然后求出数列{cn}的通项公式,最后进行求和.
解答:解:(1)∵点(
an
,an+1)(n∈N)在函数y=x2+1的图象上,∴an+1-an=1,
∴数列{an}是公差为1的等差数列,
∵a1=1,
∴an=n,
∵数列{bn}的n项和sn=2-bn
∴sn+1=2-bn+1
两式相减得
bn+1
bn
=
1
2

∴数列{bn}是公比为
1
2
的等比数列,
由sn=2-bn,得b1=1,
∴bn=(
1
2
)
n-1

(2)∵
log
bn+1
2
=
log
(
1
2
)
n
2
=-n,
∴cn=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

∴Tn=c1+c2+…+cn+1=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)=1-
1
n+1
=
n
n+1
点评:本题主要考查数列求和和等差等比数列求通项公式的知识点,本题通过函数图象与点的关系,转化为横纵坐标间的关系,构建数列,来考查数列的通项公式的求法及通项与前n项和之间的关系.
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