Question

设圆C₁的方程为（x+2）²+（y-3m-2）²=4m²，直线l的方程为y=x+m+2．
（1）若m=1，求圆C₁上的点到直线l距离的最小值；
（2）求C₁关于l对称的圆C₂的方程；
（3）当m变化且m≠0时，求证：C₂的圆心在一条定直线上，并求C₂所表示的一系列圆的公切线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）把m=1代入圆的方程和直线l的方程，分别确定出解析式，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，发现d大于半径r，故直线与圆的位置关系是相离，则圆上的点到直线l距离的最小值为d-r，求出值即可；
（2）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线C₁C₂的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C₂的方程即可；
（3）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C₂的圆心在定直线x-2y=0上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C₂所表示的一系列圆的公切线方程，综上，得到所有C₂所表示的一系列圆的公切线方程．
解答：解：（1）∵m=1，∴圆C₁的方程为（x+2）²+（y-5）²=4，直线l的方程为x-y+3=0，
所以圆心（-2，5）到直线l距离为：，
所以圆C₁上的点到直线l距离的最小值为；（4分）
（2）圆C₁的圆心为C₁（-2，3m+2），设C₁关于直线l对称点为C₂（a，b），
则解得：，
∴圆C₂的方程为（x-2m）²+（y-m）²=4m²；
（3）由消去m得a-2b=0，
即圆C₂的圆心在定直线x-2y=0上．（9分）
①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；
②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，
则，即（-4k-3）m²+2（2k-1）•b•m+b²=0，
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，
所以有：解之得：，
所以C₂所表示的一系列圆的公切线方程为：，
故所求圆的公切线为x=0或．（14分）
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（3）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C₂所表示的一系列圆的公切线方程．