题目内容

某车间有200名工人,要完成6000件产品的生产任务,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个A型零件或者1个B型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工A型零件的工人人数为x名(x∈N*).
(1)设完成A型零件加工所需时间为f(x)小时,完成B型零件加工所需时间为g(x)小时,写出f(x),g(x)的解析式;
(2)当A、B两种零件全部加工完成,就算完成工作.全部完成工作所需时间为H(x)小时,写出H(x)的解析式;
(3)为了在最短时间内完成工作,x应取何值?
分析:(1)根据题意.6000件产品生产任务中由3个A型零件,总数为6000×3,加工A型零件的工人每小时加工零件数为5x,二者相除即可求得f(x)的解析式;6000件产品生产任务中由1个B型零件,总数为6000,加工B型零件的工人每小时加工零件数为200-x,二者相除即可求得g(x)的解析式.
(2)令f(x)-g(x)>0,解可得x的范围,进而可推断当0<x<75时,H(x)即是生产A零件的时间,当75≤x<200时,
H(x)即为生产B零件所用的时间.
(3)问题实际是求函数H(x)的最小值,先看0<x<75时f(x)的最小值为
3600
75
,当75≤x<200时g(x)的最小值为
6000
200-75
,可知当x=75时,H(x)有最小值.
解答:解:(1)f(x)=
6000×3
5x
=
3600
x
(0<x<200,x∈N*)
g(x)=
6000
200-x
(0<x<200,x∈N*)

(2)令
3600
x
-
6000
200-x
=
9600(75-x)
x(200-x)
>0,得0<x<75

H(x)=
3600
x
       0<x<75
6000
200-x
      75≤x<200
x∈N*

(3)即求函数H(x)的最小值;
当0<x<75时,
3600
x
3600
75
=48

当75≤x<200时,
6000
200-x
6000
200-75
=48

故当x=75时H(x)的最小值为48.
综上,为了在最短时间内完成工作,x应取75.
点评:本题主要考查了根据实际问题选择函数类型的问题.解题的关键是根据题意求得函数的解析式.
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